Equação e inequação

Equação

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Equação é uma expressão matemática que define uma igualdade. Por definição, o sinal = traduz uma igualdade. A parte que está à esquerda do sinal = chama-se primeiro membro e a parte que está à direita chama-se segundo membro.

(1)
\begin{equation} 5+3=6+2 \end{equation}

Na igualdade acima $5 + 3$ é o primeiro membro e $6 + 2$ é o segundo membro.

Agora sim, entendendo o papel do sinal de = na matemática, é possível aprofundar um pouco mais na compreensão do que é uma equação. Ter o sinal de =, como na expressão acima não é suficiente para chamar $5+3=6+2$ de equação. Além da igualdade, a equação também tem que possuir variáveis (ou incógnitas). Isto é, ter é uma igualdade em que não conhecemos o valor de pelo menos um termo.

Os valores desconhecidos são substituídos por letras chamadas de incógnitas. Na equação $x + 2 = 6$ existe a igualdade e uma variável desconhecida chamada $x$. Chama-se de raiz, o valor que se a variável assumir o valor faz com que a igualdade torne verdadeira.

Classificação das Equações
• Possíveis e determinadas: São equações que admitem pelo menos uma solução.
Exemplo 2x = 3 → x = 3
2

Possíveis e indeterminadas: São equação que possuem infinitas soluções.
Exemplo: x + 2 = x + 2 → A incógnita x assume infinitos valores numéricos. Com isso, a equação possui infinitas soluções.
Impossível: Não possui nenhuma solução.
Exemplos:
0x=4 → Não é possível realizar a divisão de 4 por 0.
y = y + 2 → y – y = + 2 → 0 = +2 → Não existe equação sem incógnita.

Resolução de Equações

Para resolver equações, utilizamos o princípio aditivo, que consiste em adicionar ou subtrair um valor em ambos os membros da igualdade, e o multiplicativo, em que multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um mesmo valor. Observe a solução das equações a seguir para entender melhor esses princípios.

Exemplo: x + 2 = 4 – 6
Para solucionar essa equação, no primeiro membro deve ficar somente a incógnita e, no outro, os números. Com isso, devemos retirar +2 do primeiro membro da equação. Para que isso seja feito, aplique o principio aditivo, que consiste em adicionar (– 2) nos dois membros da equação:
x + 2 + ( – 2) = 4 – 6 + ( – 2)
x + 0 = 4 – 6 – 2
x = – 4

Exemplo: y – 3 = + 4
2
Como no primeiro membro da equação deve ficar somente a incógnita, aplique o princípio aditivo para retirar o – 3.
y – 3 + 3 = + 4 + 3
2
y + 0 = + 7
2
1 . y = + 7
2
Agora devemos retirar o ½ do primeiro membro da equação. Para isso, aplique o princípio multiplicativo, efetuando a multiplicação por 2 em ambos os membros da equação

2 . 1 . y = + 7 . 2
2
2y = + 14
2
y = + 14

Sinta-se convidado para assistir um vídeo explicativo de maneira resumida:

Disponível: https://www.youtube.com/watch?v=DHkL_7NxgSs

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Inequação

Inequação é uma expressão matemática que possui a propriedade de expressar desigualdades, diferente da equação que expressa igualdade. O sinal usado na equação é o símbolo de igual (=), já na inequação usaremos os seguintes símbolos matemáticos:

> (maior que), < (menor que), <= (menor ou igual que), >= (maior ou igual que)

Podemos generalizar a apresentação de uma inequação da seguinte forma:
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
Onde a e b são números reais e a ≠ 0

Resolução de inequações e representação na reta real.

Exemplo 1
2x + 7 > –1 + 2
2x > –1 + 2 – 7
2x > –8+2
2x > –6
x > –3
{xЄR/x > –3}

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Exemplo 2
4x – 10 < 20 – 2x

4x + 2x < 20 + 10
6x < 30
x < 5
{xЄR/x < 5}

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Exemplo 3
4 < 2x – 4 < 10
4 + 4 < 2x < 10 + 4
8 < 2x < 14
8/2 < x < 14/2
4 < x < 7
{xЄR/4 < x < 7}

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Sinta-se convidado para assistir um vídeo explicativo de maneira resumida:

Disponível: https://www.youtube.com/watch?v=oeF_Obf2JNc
 

Exercícios Resolvidos para fixação

Equação

Exercício 1

Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento.

Solução

Para resolver esse tipo de problema, utiliza-se uma incógnita para estabelecer a relação de igualdade.

Assim, denominemos a idade de Ana como o elemento x. Como Natália tem oito anos a mais que Ana, sua idade será igual a x+8.

Por conseguinte, a idade de Ana vezes 3 será igual à idade de Natália: 3x = x + 8

Estabelecida essas relações, ao passar o x para o outro lado da igualdade, tem-se:

3x - x = 8
2x = 8
x = 8/2
x = 4

Portanto, como x é a idade de Ana, naquele momento ela terá 4 anos. Enquanto isso, Natália terá 12 anos, o triplo da idade de Ana (8 anos a mais).

Exercício 2

Resolva as equações abaixo:

a) x - 3 = 9
x = 9 + 3
x = 12

b) 4x - 9 = 1 - 2x
4x + 2x = 1 + 9
6x = 10
x = 10/6

c) x + 5=20 - 4x
x + 4x = 20 - 5
5x = 15
x = 15/5
x = 3

d) 9x - 4x + 10 = 7x - 30
9x - 4x - 7x = - 10 - 30
- 20x = - 40 (-1) multiplica-se todos os termos por -1
20x = 40
x = 40/20
x = 20

Fonte: https://www.todamateria.com.br/equacao-do-primeiro-grau/

Inequação

a) 2x + 1 <= x + 6
Diminuir x dos dois lados:
2x - x + 1 <= x - x + 6
x + 1 <= 6
x <= 5

b) 2 - 3x >= x + 14
2 - 3x - x >= x - x + 14
2 - 4x >=) 14
-4x >= 12
-x >= 3
x >= -3

c) 2(x + 3) > 3 (1 - x)
2x + 6 > 3 - 3x
2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x
6 - 3 > -5x
3 > - 5x
-x < 3/5
x > -3/5

d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7
3 - 6x < 2x + 2 + x - 7
-6x - 3x < -8
-9x < -8
9x > 8
x > 8/9

e) (x + 3) > (-x-1)
x + 3 > -x - 1
2x > -4
x > -4/2
x > -2

Fonte: https://www.somatematica.com.br/soexercicios/inequacoes.php
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