Exercícios
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Exercício 1

Uma empresa fabrica dois produtos a partir da matéria prima A e da matéria prima B, além de mão de obra normal e especializada. O produto 1 utiliza 70 kg/unidade da matéria prima A, 90 kg/unidade da matéria prima B e 2 h/unidade de mão de obra especializada. O produto 2 utiliza 70 kg/unidade da matéria prima A, 50 kg/unidade da matéria prima B e 3 h/unidade da de mão de obra normal. Cada unidade do produto 1 gera um lucro de R$ 20 por unidade e cada unidade do produto 2 gera um lucro de R$ 60 por unidade. A disponibilidade dos insumos são de 4.900 kg da matéria prima A, 4.500 kg da matéria prima B, 80 horas de mão de obra especializada e 180 horas de mão de obra normal.

Formule conceitualmente e matematicamente o problema com o objetivo de maximizar o lucro.

Modelo conceitual
Função objetivo: Maximizar o lucro a partir da produção de dois tipos de produtos.
S.a:
Disponibilidade da matéria prima A;
Disponibilidade da matéria prima B;
Disponibilidade de mão de obra especializada;
Disponibilidade de mão de obra normal.

Modelo matemático
P1 = Quantidade produzida do produto 01;
P2 = Quantidade produzida do produto 02;
Função objetivo = max: 20 P1 + 60 P2;
S. a:
MPA: 70 P1 + 70 P2 <= 4900;
MPB: 90 P1 + 50 P2 <= 4500;
MOE: 2 P1 <= 80;
MON: 3 P2 <= 180;

Exercício 2

Uma prestadora de serviço oferece duas atividades de colheita florestal: mecanizado (M) e não mecanizado (NM). O lucro é de R$ 50000 por módulo de colheita mecanizado e R$ 20000 por módulo de colheita manual. Cada M demanda 300 e NM demanda 200 horas de manutenção, sendo a disponibilidade anual de 240.000 horas. M demanda 300 e NM demanda 20 hora de abastecimento, sendo a disponibilidade anual de 180.000 horas. M demanda 100 horas e NM demanda 200 horas de supervisão, sendo a disponibilidade anual de 120.000 horas.

Crie a formulação conceitual e matemática que permite estabelecer o portfólio de módulos que maximiza o lucro.

Modelo conceitual
Função objetivo: Maximizar o lucro a partir do estabelecimento do portifólio de módulos de duas atividades de colheita florestal.
S.a:
Disponibilidade de horas de manutenção;
Disponibilidade de horas de abastecimento;
Disponibilidade de horas de supervisão.

Modelo matemático
M = Quantidade de módulos de colheita mecanizada;
NM = Quantidade módulos de colheita não mecanizada;
Função objetivo = max: 50000 M + 20000 NM;
S. a:
HM: 300 M + 200 NM <= 240000;
HA: 300 M + 20 NM <= 180000;
HS: 100 M + 200 NM <= 120000;

Exercício 3

Uma empresa produz dois tipos de móveis: A e B. Os lucros unitários respectivos são de 80 reais e 35 reais, respectivamente. O móvel A exige o dobro do tempo necessário para fabricação de um móvel do tipo B. A empresa pode fabricar diariamente 1000 móveis tipo B. A quantidade de madeira fornecido é suficiente para fabricar diariamente 800 móveis. O móvel A necessita de um acabamento de luxo e só se dispõe diariamente de 400 unidades deste acabamento. Para o móvel tipo B pode-se dispor diariamente de 700 acabamentos.

Formule conceitualmente e matematicamente o problema que permite determinar a produção que leva ao máximo lucro.

Modelo conceitual
Função objetivo: Determinar a produção que leva ao máximo lucro.
S.a:
Limite de fabricação do móvel A;
Limite de fabricação do móvel B;
Disponibilidade de madeira;
Disponibilidade de acabamento para o móvel A;
Disponibilidade de acabamento para o móvel B.

Modelo matemático
A = Quantidade de móveis A produzidos;
B = Quantidade de móveis B produzidos;
Função objetivo = max: 80 A + 35 B;
S. a:
LA: A <= 500;
LB: B <= 1000;
DM: A + B <= 800;
DAA: A <= 400;
DAB: B <= 700;

Exercício 4

Uma empresa que já planta eucalipto está considerando a possibilidade de diversificar a sua atividade plantando pinus numa nova fazenda que acabou de adquirir, seguindo uma política de uso único da terra (não misturar pinus e eucalipto). Um consultor informou que um hectare de pinus custará R$ 1.800, gerando um lucro médio de R$ 6.000 por hectare. Um hectare de eucalipto é plantado pela empresa a um custo de R$ 2.300, e gera um lucro de R$ 8.000 por hectare. A empresa dispõe de 1100 hectares de terra que podem ser utilizados tanto para pinus, quanto para eucalipto. A capacidade atual de investimento é de R$ 142.500.

Formule conceitualmente e matematicamente o problema que indique quantos hectares de cada espécie a empresa deve implantar para maximizar o lucro.

Modelo conceitual
Função objetivo: Maximizar o lucro a partir da definição de quantos hectares de cada espécie será plantado.
S.a:
Disponibilidade de crédito;
Disponibilidade de terra.

Modelo matemático
P = Quantidade de hectares plantados de pinus;
E = Quantidade de hectares plantados de eucalipto;
Função objetivo = max: 6000 P + 8000 E;
S. a:
DC: 1800 P + 2300 E <= 142500;
DT: P + E <= 1100;

Exercício 5

Refaça o problema anterior considerando que agora, a empresa fez um contrato de fornecimento de 50 hectares de pinus para um cliente que produz caixotes. Inclua essa nova restrição na formulação do problema.

Exercício 6

Uma empresa florestal possui fazendas em 6 localidades e deseja determinar onde serão instaladas as unidades de combate a incêndio. A empresa deseja construir a menor quantidade possível de unidades de forma a garantir que qualquer localidade seja atendida em no máximo 15 minutos. Com base na tabela de tempo de deslocamento entre as localidades, determine onde e quantas unidades deverão ser instaladas.

De/Para L1 L2 L3 L4 L5 L6
L1 0 10 20 30 30 20
L2 10 0 25 35 20 10
L3 20 25 0 15 30 20
L4 30 35 15 0 15 25
L5 30 20 30 15 0 14
L6 20 10 20 25 14 0

Exercício 7

A partir da tabela abaixo, resolva o problema de transporte:

Carvoaria 1 Carvoaria 2 Demanda
Cliente 1 7 4 200
Cliente 2 2 5 150
Cliente 3 3 8 50
Oferta 300 100

Exercício 8

A tabela abaixo mostra o custo de um caminhão de madeira para sair das fazendas que produzem madeira com destino aos pátios de estocagem da empresa. Qual o plano logístico que minimiza os custos de transporte?

P1 P2 P3 P4 Oferta
Faz 1 464 513 654 867 75
Faz 2 352 416 690 791 125
Faz 3 995 682 388 685 100
Demanda 80 65 70 85

Exercício 9

Uma empresa que produz máquinas florestais possui duas plantas: uma em Perto Alegre e outra em Goiânia. A distribuição das máquinas é feita através de duas revendas: uma localizada em BH e outra em Curitiba. A partir das revendas, as máquinas são transportadas para os clientes finais em Ipatinga, Três Lagoas e Jacareí. A capacidade de produção é de 50 unidade em Porto Alegre e 30 em Goiânia. A demanda em Ipatinga, Três Lagoas e Jacareí é de 20, 35 e 25 respectivamente.

A matriz de custo de transporte, em mil reais / máquina, é:

BH Curitiba Ipatinga Três Lagoas Jacareí
Goiânia 8 10
PoA 7 4
BH 1 5 4
Curitiba 4 3 2

Apresentar solução utilizando o LP Solve.

Classificação do problema:Transbordo

Formulação conceitual

Minimizar o custo de transporte de máquinas entre fornecedores e clientes sujeitos a todo fornecedor tem que enviar toda mercadoria e o cliente receber a mercadoria. O distribuidor deve receber e despachar a mercadoria.

Formulação matemática

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Interpretando a solução do problema no LPSolve:
As máquinas que sairão de Goiânia serão 30, passando por Belo Horizonte, serão distribuídas 20 máquinas para Ipatinga e 10 máquinas para Jacareí.

As máquinas que sairão de Porto Alegre serão 50, passando por Curitiba, serão distribuídas 35 máquinas para Três Lagoas e 15 máquinas para Jacareí.

Exercício 10

Considere o problema do combate a incêndio, mas assuma que seja permitido a ocorrência de transbordo considerando os seguintes aspectos:

  • Um ponto de junção perfeito (sede do IEF).
  • O fornecedor 2 não atua como transbordo (pode enviar para escritórios, mas não pode atuar como transbordo).
  • O escritório 3 não atua como transbordo (pode receber de todos, mas não envia).
  • Não é possível distribuir do fornecedor 2 para fornecedor 1.
  • Não é possível distribuir da escritório 1 para escritório 3.
  • Não é possível distribuir da escritório 4 para a junção nem para a escritório 1.

A nova tabela de custo, demanda e oferta está sendo apresentada abaixo:

E1 E2 E3 E4 Sede F1 F3 Oferta
F1 8 19 22 6 5 0 12 500
F2 15 6 16 5 7 5 100
F3 7 8 9 12 13 9 0 200
9 12 8 10 0 8 13
E1 0 10 8 8 7 25
E2 9 0 15 7 13 18 6
E4 1 10 13 0 12
200 300 200 100 800

Exercício 11

Uma empresa possui 5 módulos de colheita atualmente estacionados nas oficinas para manutenção preventiva. Terminada a manutenção os módulos deverão ser enviados para atender uma das cinco regionais florestais da empresa. O assinalamento deve ser feito de modo a minimizar a distância total de deslocamento.

M1 M2 M3 M4 M5
R1 79 15 36 17 26
R2 44 28 16 64 40
R3 23 77 23 18 92
R4 76 23 72 12 86
R5 76 74 53 16 32

Exercício 12

Uma empresa deseja escolher a empresa que transportará seus funcionários para as frentes de trabalho. Existem 4 empresas e 4 frentes, e uma empresa pode ser responsável por apenas uma frente. Defina a alocação das empresas minimizando o custo de transporte:

Frente 1 Frente 2 Frente 3 Frente 4
Emp 1 4000 5000 4500
Emp 2 3800 4000 4000
Emp 3 3000 2000 4500
Emp 4 3500 4000 5000

Exercício 13

Considere no problema anterior, que cada empresa pode operar até duas rotas. Como fica o modelo matemático? Resolva o problema.

Exercício 14

Uma empresa florestal deseja definir uma escala de trabalho que atenda à produção desejada minimizando o custo. A empresa pode utilizar funcionários próprios ou terceiros. Para ambos a jornada de trabalho consiste em 5 dias consecutivos de 8 horas. O custo da mão de obra própria é de R\$ 35,00 por dia de trabalho e a mão de obra terceirizada é de R\$ 45,00 por dia de trabalho. A demanda por dia da semana é de:

Dia da semana Demanda de colaboradores
Segunda 36
Terça 30
Quarta 42
Quinta 17
Sexta 26
Sábado 17
Domingo 12

Exercício 15

Considerando o problema anterior, suponha que um novo gerente proponha acabar com a mão de obra terceirizada, mas permitindo a contratação de diaristas, ao custo de R\$ 45,00 o dia de trabalho. Como fica a formulação matemática deste novo problema?

Exercício 16

Faça o que se pede:

  • Crie um grafo ligando Diamantina a BH, com as cidades ao longo do caminho.
  • Determine a distância de viagem entre os nós.
  • Determine o tempo de viagem entre os nós.
  • Determine a quantidade de atrações turísticas de cada localidade.

Exercício 17

Deseja-se determinar uma rota com o maior potencial turístico possível, saindo da origem e indo até o destino. Cada arco da estrada está associado ao número de atrações turísticas no caminho. Crie a rota que maximize o interesse de turistas.

D2 D3 D4 D5 D6
O1 20
O2 60 30
O3 10 20
O4 10
O5 80

Exercício 18

Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã.Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta.

Exercício 19

Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear.

Exercício 20

Fábrica dispõe de de 300 h de uma máquina, 350 h de mão de obra e 400 kg de matéria prima para fabricar 2 produtos. Cada unidade do produto P1 consome 1 h de máquina, 2 h de mão de obra e 2 kg de matéria prima e cada unidade do produto P2 consome 2 h de máquina 1 h de mão de obra e 3 kg de matéria prima. O lucro unitário de P1 é estimado em $5 enquanto que o lucro de P2 é $12 para as primeiras 100 unidades e $10 para as unidades de P2 acima de 100 (caso existam). Além disto, por razões trabalhistas, a mão de obra alocada na produção de P2 não pode ser superior a mais da metade da mão de obra utilizada na produção dos dois produtos em conjunto. Deseja-se maximizar o lucro total estimado.

Exercício 21

PapelBrás vende rolos de papel nas larguras 3 dm, 5 dm e 9 dm cortados a partir de bobinas com 17 dm de largura. No momento a empresa tem uma carteira de pedidos de clientes para ser atendida de rolos: 25 t de 3 dm, 20 t de 5 dm e 15 t de 9 dm. As larguras destes rolos devem ser combinadas em padrões de corte com no máximo 17 dm causando, em geral, a perda de um rolo de papel ou refilo (um padrão de corte com 2 larguras de 3 dm e 2 larguras de 5 dm tem um refilo de 17 − 2 × 3 − 2 × 5 = 1 dm de largura. Escreva um problema de programação linear para:
a) minimizar a quantidade total de bobinas de 17 dm
b) minimizar o desperdício total de papel.

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