Exercício 1
Uma empresa fabrica dois produtos a partir da matéria prima A e da matéria prima B, além de mão de obra normal e especializada. O produto 1 utiliza 70 kg/unidade da matéria prima A, 90 kg/unidade da matéria prima B e 2 h/unidade de mão de obra especializada. O produto 2 utiliza 70 kg/unidade da matéria prima A, 50 kg/unidade da matéria prima B e 3 h/unidade da de mão de obra normal. Cada unidade do produto 1 gera um lucro de R$ 20 por unidade e cada unidade do produto 2 gera um lucro de R$ 60 por unidade. A disponibilidade dos insumos são de 4.900 kg da matéria prima A, 4.500 kg da matéria prima B, 80 horas de mão de obra especializada e 180 horas de mão de obra normal.
Formule conceitualmente e matematicamente o problema com o objetivo de maximizar o lucro.
Modelo conceitual
Função objetivo: Maximizar o lucro a partir da produção de dois tipos de produtos.
S.a:
Disponibilidade da matéria prima A;
Disponibilidade da matéria prima B;
Disponibilidade de mão de obra especializada;
Disponibilidade de mão de obra normal.
Modelo matemático
P1 = Quantidade produzida do produto 01;
P2 = Quantidade produzida do produto 02;
Função objetivo = max: 20 P1 + 60 P2;
S. a:
MPA: 70 P1 + 70 P2 <= 4900;
MPB: 90 P1 + 50 P2 <= 4500;
MOE: 2 P1 <= 80;
MON: 3 P2 <= 180;
Exercício 2
Uma prestadora de serviço oferece duas atividades de colheita florestal: mecanizado (M) e não mecanizado (NM). O lucro é de R$ 50000 por módulo de colheita mecanizado e R$ 20000 por módulo de colheita manual. Cada M demanda 300 e NM demanda 200 horas de manutenção, sendo a disponibilidade anual de 240.000 horas. M demanda 300 e NM demanda 20 hora de abastecimento, sendo a disponibilidade anual de 180.000 horas. M demanda 100 horas e NM demanda 200 horas de supervisão, sendo a disponibilidade anual de 120.000 horas.
Crie a formulação conceitual e matemática que permite estabelecer o portfólio de módulos que maximiza o lucro.
Modelo conceitual
Função objetivo: Maximizar o lucro a partir do estabelecimento do portifólio de módulos de duas atividades de colheita florestal.
S.a:
Disponibilidade de horas de manutenção;
Disponibilidade de horas de abastecimento;
Disponibilidade de horas de supervisão.
Modelo matemático
M = Quantidade de módulos de colheita mecanizada;
NM = Quantidade módulos de colheita não mecanizada;
Função objetivo = max: 50000 M + 20000 NM;
S. a:
HM: 300 M + 200 NM <= 240000;
HA: 300 M + 20 NM <= 180000;
HS: 100 M + 200 NM <= 120000;
Exercício 3
Uma empresa produz dois tipos de móveis: A e B. Os lucros unitários respectivos são de 80 reais e 35 reais, respectivamente. O móvel A exige o dobro do tempo necessário para fabricação de um móvel do tipo B. A empresa pode fabricar diariamente 1000 móveis tipo B. A quantidade de madeira fornecido é suficiente para fabricar diariamente 800 móveis. O móvel A necessita de um acabamento de luxo e só se dispõe diariamente de 400 unidades deste acabamento. Para o móvel tipo B pode-se dispor diariamente de 700 acabamentos.
Formule conceitualmente e matematicamente o problema que permite determinar a produção que leva ao máximo lucro.
Modelo conceitual
Função objetivo: Determinar a produção que leva ao máximo lucro.
S.a:
Limite de fabricação do móvel A;
Limite de fabricação do móvel B;
Disponibilidade de madeira;
Disponibilidade de acabamento para o móvel A;
Disponibilidade de acabamento para o móvel B.
Modelo matemático
A = Quantidade de móveis A produzidos;
B = Quantidade de móveis B produzidos;
Função objetivo = max: 80 A + 35 B;
S. a:
LA: A <= 500;
LB: B <= 1000;
DM: A + B <= 800;
DAA: A <= 400;
DAB: B <= 700;
Exercício 4
Uma empresa que já planta eucalipto está considerando a possibilidade de diversificar a sua atividade plantando pinus numa nova fazenda que acabou de adquirir, seguindo uma política de uso único da terra (não misturar pinus e eucalipto). Um consultor informou que um hectare de pinus custará R$ 1.800, gerando um lucro médio de R$ 6.000 por hectare. Um hectare de eucalipto é plantado pela empresa a um custo de R$ 2.300, e gera um lucro de R$ 8.000 por hectare. A empresa dispõe de 1100 hectares de terra que podem ser utilizados tanto para pinus, quanto para eucalipto. A capacidade atual de investimento é de R$ 142.500.
Formule conceitualmente e matematicamente o problema que indique quantos hectares de cada espécie a empresa deve implantar para maximizar o lucro.
Modelo conceitual
Função objetivo: Maximizar o lucro a partir da definição de quantos hectares de cada espécie será plantado.
S.a:
Disponibilidade de crédito;
Disponibilidade de terra.
Modelo matemático
P = Quantidade de hectares plantados de pinus;
E = Quantidade de hectares plantados de eucalipto;
Função objetivo = max: 6000 P + 8000 E;
S. a:
DC: 1800 P + 2300 E <= 142500;
DT: P + E <= 1100;
Exercício 5
Refaça o problema anterior considerando que agora, a empresa fez um contrato de fornecimento de 50 hectares de pinus para um cliente que produz caixotes. Inclua essa nova restrição na formulação do problema.
Exercício 6
Uma empresa florestal possui fazendas em 6 localidades e deseja determinar onde serão instaladas as unidades de combate a incêndio. A empresa deseja construir a menor quantidade possível de unidades de forma a garantir que qualquer localidade seja atendida em no máximo 15 minutos. Com base na tabela de tempo de deslocamento entre as localidades, determine onde e quantas unidades deverão ser instaladas.
De/Para | L1 | L2 | L3 | L4 | L5 | L6 |
---|---|---|---|---|---|---|
L1 | 0 | 10 | 20 | 30 | 30 | 20 |
L2 | 10 | 0 | 25 | 35 | 20 | 10 |
L3 | 20 | 25 | 0 | 15 | 30 | 20 |
L4 | 30 | 35 | 15 | 0 | 15 | 25 |
L5 | 30 | 20 | 30 | 15 | 0 | 14 |
L6 | 20 | 10 | 20 | 25 | 14 | 0 |
Exercício 7
A partir da tabela abaixo, resolva o problema de transporte:
Carvoaria 1 | Carvoaria 2 | Demanda | |||||
Cliente 1 | 7 | 4 | 200 | ||||
Cliente 2 | 2 | 5 | 150 | ||||
Cliente 3 | 3 | 8 | 50 | ||||
Oferta | 300 | 100 |
Exercício 8
A tabela abaixo mostra o custo de um caminhão de madeira para sair das fazendas que produzem madeira com destino aos pátios de estocagem da empresa. Qual o plano logístico que minimiza os custos de transporte?
P1 | P2 | P3 | P4 | Oferta | |||||||
Faz 1 | 464 | 513 | 654 | 867 | 75 | ||||||
Faz 2 | 352 | 416 | 690 | 791 | 125 | ||||||
Faz 3 | 995 | 682 | 388 | 685 | 100 | ||||||
Demanda | 80 | 65 | 70 | 85 |
Exercício 9
Uma empresa que produz máquinas florestais possui duas plantas: uma em Perto Alegre e outra em Goiânia. A distribuição das máquinas é feita através de duas revendas: uma localizada em BH e outra em Curitiba. A partir das revendas, as máquinas são transportadas para os clientes finais em Ipatinga, Três Lagoas e Jacareí. A capacidade de produção é de 50 unidade em Porto Alegre e 30 em Goiânia. A demanda em Ipatinga, Três Lagoas e Jacareí é de 20, 35 e 25 respectivamente.
A matriz de custo de transporte, em mil reais / máquina, é:
BH | Curitiba | Ipatinga | Três Lagoas | Jacareí | |
Goiânia | 8 | 10 | |||
PoA | 7 | 4 | |||
BH | 1 | 5 | 4 | ||
Curitiba | 4 | 3 | 2 |
Apresentar solução utilizando o LP Solve.
Classificação do problema:Transbordo
Formulação conceitual
Minimizar o custo de transporte de máquinas entre fornecedores e clientes sujeitos a todo fornecedor tem que enviar toda mercadoria e o cliente receber a mercadoria. O distribuidor deve receber e despachar a mercadoria.
Formulação matemática
Interpretando a solução do problema no LPSolve:
As máquinas que sairão de Goiânia serão 30, passando por Belo Horizonte, serão distribuídas 20 máquinas para Ipatinga e 10 máquinas para Jacareí.
As máquinas que sairão de Porto Alegre serão 50, passando por Curitiba, serão distribuídas 35 máquinas para Três Lagoas e 15 máquinas para Jacareí.
Exercício 10
Considere o problema do combate a incêndio, mas assuma que seja permitido a ocorrência de transbordo considerando os seguintes aspectos:
- Um ponto de junção perfeito (sede do IEF).
- O fornecedor 2 não atua como transbordo (pode enviar para escritórios, mas não pode atuar como transbordo).
- O escritório 3 não atua como transbordo (pode receber de todos, mas não envia).
- Não é possível distribuir do fornecedor 2 para fornecedor 1.
- Não é possível distribuir da escritório 1 para escritório 3.
- Não é possível distribuir da escritório 4 para a junção nem para a escritório 1.
A nova tabela de custo, demanda e oferta está sendo apresentada abaixo:
E1 | E2 | E3 | E4 | Sede | F1 | F3 | Oferta | |
F1 | 8 | 19 | 22 | 6 | 5 | 0 | 12 | 500 |
F2 | 15 | 6 | 16 | 5 | 7 | 5 | 100 | |
F3 | 7 | 8 | 9 | 12 | 13 | 9 | 0 | 200 |
9 | 12 | 8 | 10 | 0 | 8 | 13 | ||
E1 | 0 | 10 | 8 | 8 | 7 | 25 | ||
E2 | 9 | 0 | 15 | 7 | 13 | 18 | 6 | |
E4 | 1 | 10 | 13 | 0 | 12 | |||
200 | 300 | 200 | 100 | 800 |
Exercício 11
Uma empresa possui 5 módulos de colheita atualmente estacionados nas oficinas para manutenção preventiva. Terminada a manutenção os módulos deverão ser enviados para atender uma das cinco regionais florestais da empresa. O assinalamento deve ser feito de modo a minimizar a distância total de deslocamento.
M1 | M2 | M3 | M4 | M5 | |
R1 | 79 | 15 | 36 | 17 | 26 |
R2 | 44 | 28 | 16 | 64 | 40 |
R3 | 23 | 77 | 23 | 18 | 92 |
R4 | 76 | 23 | 72 | 12 | 86 |
R5 | 76 | 74 | 53 | 16 | 32 |
Exercício 12
Uma empresa deseja escolher a empresa que transportará seus funcionários para as frentes de trabalho. Existem 4 empresas e 4 frentes, e uma empresa pode ser responsável por apenas uma frente. Defina a alocação das empresas minimizando o custo de transporte:
Frente 1 | Frente 2 | Frente 3 | Frente 4 | |
Emp 1 | 4000 | 5000 | 4500 | |
Emp 2 | 3800 | 4000 | 4000 | |
Emp 3 | 3000 | 2000 | 4500 | |
Emp 4 | 3500 | 4000 | 5000 |
Exercício 13
Considere no problema anterior, que cada empresa pode operar até duas rotas. Como fica o modelo matemático? Resolva o problema.
Exercício 14
Uma empresa florestal deseja definir uma escala de trabalho que atenda à produção desejada minimizando o custo. A empresa pode utilizar funcionários próprios ou terceiros. Para ambos a jornada de trabalho consiste em 5 dias consecutivos de 8 horas. O custo da mão de obra própria é de R\$ 35,00 por dia de trabalho e a mão de obra terceirizada é de R\$ 45,00 por dia de trabalho. A demanda por dia da semana é de:
Dia da semana | Demanda de colaboradores |
Segunda | 36 |
Terça | 30 |
Quarta | 42 |
Quinta | 17 |
Sexta | 26 |
Sábado | 17 |
Domingo | 12 |
Exercício 15
Considerando o problema anterior, suponha que um novo gerente proponha acabar com a mão de obra terceirizada, mas permitindo a contratação de diaristas, ao custo de R\$ 45,00 o dia de trabalho. Como fica a formulação matemática deste novo problema?
Exercício 16
Faça o que se pede:
- Crie um grafo ligando Diamantina a BH, com as cidades ao longo do caminho.
- Determine a distância de viagem entre os nós.
- Determine o tempo de viagem entre os nós.
- Determine a quantidade de atrações turísticas de cada localidade.
Exercício 17
Deseja-se determinar uma rota com o maior potencial turístico possível, saindo da origem e indo até o destino. Cada arco da estrada está associado ao número de atrações turísticas no caminho. Crie a rota que maximize o interesse de turistas.
D2 | D3 | D4 | D5 | D6 | |
O1 | 20 | ||||
O2 | 60 | 30 | |||
O3 | 10 | 20 | |||
O4 | 10 | ||||
O5 | 80 |
Exercício 18
Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã.Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta.
Exercício 19
Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear.
Exercício 20
Fábrica dispõe de de 300 h de uma máquina, 350 h de mão de obra e 400 kg de matéria prima para fabricar 2 produtos. Cada unidade do produto P1 consome 1 h de máquina, 2 h de mão de obra e 2 kg de matéria prima e cada unidade do produto P2 consome 2 h de máquina 1 h de mão de obra e 3 kg de matéria prima. O lucro unitário de P1 é estimado em $5 enquanto que o lucro de P2 é $12 para as primeiras 100 unidades e $10 para as unidades de P2 acima de 100 (caso existam). Além disto, por razões trabalhistas, a mão de obra alocada na produção de P2 não pode ser superior a mais da metade da mão de obra utilizada na produção dos dois produtos em conjunto. Deseja-se maximizar o lucro total estimado.
Exercício 21
PapelBrás vende rolos de papel nas larguras 3 dm, 5 dm e 9 dm cortados a partir de bobinas com 17 dm de largura. No momento a empresa tem uma carteira de pedidos de clientes para ser atendida de rolos: 25 t de 3 dm, 20 t de 5 dm e 15 t de 9 dm. As larguras destes rolos devem ser combinadas em padrões de corte com no máximo 17 dm causando, em geral, a perda de um rolo de papel ou refilo (um padrão de corte com 2 larguras de 3 dm e 2 larguras de 5 dm tem um refilo de 17 − 2 × 3 − 2 × 5 = 1 dm de largura. Escreva um problema de programação linear para:
a) minimizar a quantidade total de bobinas de 17 dm
b) minimizar o desperdício total de papel.