Função

Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função, enquanto que o conjunto B é denominado de contradomínio da função.

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As informações da figura acima também podem ser representadas por meio de expressão algébrica:

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Abaixo temos um breve vídeo com algumas informações sobre função:


  
 

Tipos de funções

As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:

1. Função injetora ou injetiva

Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:

  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}
  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}
  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}
funcao-injetiva.jpg

 

2. Função Sobrejetora ou sobrejetiva

Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possui um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.

  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25}
  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C}
  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C}
funcao-sobrejetora.jpg

3. Função bijetora ou bijetiva

Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.

  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1/2, 5}
  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D}
  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D}
funcao-bijetora.jpg

As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y:

grafico-eixo-x-e-y.jpg

Geralmente estudamos doze funções, que são:

1 – Função constante;

2 – Função par;

3 – Função ímpar;

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau;

5 – Função Linear;

6 – Função crescente;

7 – Função decrescente;

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau;

9 – Função modular;

10 – Função exponencial;

11 – Função logarítmica;

12 – Funções trigonométricas;

13 – Função raiz.
 
 

1 - Função constante

Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y).

Fórmula geral da função constante:

f(x) = c

x = Domínio

f(x) = Imagem

c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.
 

Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2
grafico-funcao-constante.jpg

2 – Função Par

A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente.

Fórmula geral da função par:

f(x) = f(- x)

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2
exemplo-de-funcao-par(3).jpg

3 – Função ímpar

A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.

Fórmula geral da função ímpar

f(– x) = – f(x)

– x = domínio

f(– x) = imagem

- f(x) = simétrico da imagem

Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x
grafico-da-funcao-impar-f(x)%3D3x.jpg

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau

Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.

Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau

f(x) = ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1
grafico-da-funcao-do-primeiro-grau-f(x)%3D4x%2B1.jpg

5 – Função Linear

A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero.

Fórmula geral da função linear

f(x) = ax

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente

Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3
grafico-da-funcao-linear-f(x)%3D-x3.jpg

6 – Função crescente

A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1).

Fórmula geral da função crescente

f(x) = + ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente sempre positivo

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x
grafico-da-funcao-crescente-f(x)%3D5x.jpg

7 – Função decrescente

Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo.

Fórmula geral da função decrescente

f(x) = - ax + b

x= domínio/ incógnita

f(x) = imagem

- a = coeficiente sempre negativo

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x
grafico-da-funcao-decrescente-f(x)%3D-5x.jpg

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau

Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo.

Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau

f(x) = ax2 + bx + c

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente que determina a concavidade da parábola.

b = coeficiente.

c = coeficiente.

Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5
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9 – Função modular

A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x.

Fórmula geral da função modular

f(x) = x, se x≥ 0

ou

f(x) = – x, se x < 0

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

Exemplo de gráfico da função modular: f(x) =
grafico-da-fun%C3%A7%C3%A3o%20modular%20-f(x)%3D2x%20%2B%206-f(x)%3D-(2x%2B6).jpg

10 – Função exponencial

Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente.

Fórmula geral da função exponencial

f(x) = ax

a > 1 ou 0 < a < 1

x = domínio

f(x) = imagem

a = Termo numérico ou algébrico

Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)x, para a = 2
grafico-da-funcao-expoencial-f(x)%3D2%5Ex.jpg
Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)x para a = ½
gradico-da-funcao-exponecial%20f(x)%3D(1-2x)%5E2.jpg

11 - Função logarítmica

Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais.

Fórmula geral da função logarítmica

f(x) = loga x

a = base do logaritmo

f(x) = Imagem/ logaritmando

x = Domínio/ logaritmo

Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 (5x - 6)
grafico-da-funcao-logaritmica-f(x)%20%3D%20log%20(5x%20-%206).jpg

12 – Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são:

- Seno: f(x) = sen x

- Cosseno: f(x) = cos x

- Tangente: f(x) = tg x

Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2)
grafico-funcao-trigonometrica-seno-f(x)%3Dsen(x%2B2).jpg
Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)
grafico-da-funcao-trigonometrica-cosseno-f(x)%3Dcos(x%2B2).jpg
Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2)
grafico-funcao-trigonometrica-tangente-f(x)%3Dtan(x%2B2).jpg

13 – Função raiz

O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte do expoente. Se n for ímpar, o domínio (x) será o conjunto dos números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo.

Fórmula geral da função raiz

f(x) = x 1/n

f(x) = Imagem

x = domínio/ base

1/n = expoente

Exemplo de gráfico da função raiz: f(x) = (x)1/2
grafico-da-funcao-raiz-f(x)%3D%20x%5E1-2.jpg

 

Videoaula sobre tipos de funções:

Fonte: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao.htm

 
 

Softwares

Existem softwares capazes de reproduzirem tais funções e esboça-las em um gráfico, dentre eles está o GeoGebra.
O GeoGebra é um aplicativo de matemática dinâmica que combina conceitos de geometria e álgebra. Sua distribuição é livre, nos termos da GNU - General Public License, e é escrito em linguagem Java, o que lhe permite estar disponível em várias plataformas dentre elas os PCs e os Smartphones.
Usar o GeoGebra é muito simples, o software possui versões para download e uma versão online, ambas podem ser encontradas nos links a baixo.

Versão para Download

Versão Online

Para quem quiser se aprofundar mais sobre o assunto, segue abaixo uma playlist com algumas videoaulas básicas para o uso do GeoGebra.
 

Videoaulas GeoGebra

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