Solução gráfica

O método simplex pode ser melhor compreendido por meio da solução gráfica. No entanto, só é recomendável resolver um problema graficamente, quando ele apresenta duas variáveis de decisão. Desta forma, é possível representar as restrições e função objetivo num gráfico de duas dimensões.

Quando o problema possui duas variáveis de decisão, é possível resolvê-lo graficamente seguindo os seguintes passos:

  1. Construir um gráfico bidimensional considerando cada variável em um dos eixos.
  2. Representar as restrições assumindo igualdades.
  3. Identificar a região de viabilidade considerando as desigualdades.
  4. Plotar a função objetivo.
  5. Encontrar o ponto ou vértice ótimo.

Para exemplicar a solução gráfica, será apresentado um problema de duas variáveis de decisão:

MaxZ = 90 X1 + 120 X2
S.a.
X1 <= 40
X2 <= 50
2 X1 + 3 X2 <= 180
X1, X2 >= 0

Passo 1: Construir um gráfico bidimensional considerando X1 e X2 nos eixos.

Passo 2: Representar as restrições considerando como igualdades.

X1 = 40
X2 = 50
2 X1 + 3 X2 = 180
X1, X2 = 0

Passo 3: Identificar a região de viabilidade considerando as desigualdades.

X1 <= 40
X2 <= 50
2 X1 + 3 X2 <= 180
X1, X2 >= 0
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Figura. Gráfico dos passos 1, 2 e 3. Fonte: autor

Passo 4: Dê um valor qualquer para Z e plote a função objetivo.

Z = 90 X1 + 120 X2

Passo 5: Desloque a função objetivo paralelamente em direção à maximização ou minimização na busca do último ponto do espaço de soluções viáveis que toca a função objetivo.

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Figura. Gráfico com o ponto que representa a solução ótima pelo método gráfico. Fonte. autor

Método Gráfico em Softwares

Método da Resolução Gráfica é utilizado para problemas de otimização com duas variáveis. É uma técnica que consiste em representar em um sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, isto é, o conjunto de pontos que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo problema. Alguns softwares como o Graph e Winplot, podem ser utilizados para realizar o método gráfico.

O Winplot é um gerador de funções gráficas especialmente projetado para o estudo visual de uma série de equações matemáticas. Onde você pode gerar gráficos de diversas equações. A figura 1, trás uma noção do ambiente do Winplot.

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Figura.1

Já o Graph apresentado na figura 2, é mais limitado quanto a equações, contudo apresenta um ambiente mais amigável e intuitivo.

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Figura.2

Links para download: Graph: https://www.padowan.dk/download/, Winplot: www.microsofttranslator.com

Interpretação da resolução gráfica

Após a primeira e segunda constatação, que referem-se ao número de variáveis (duas variáveis) e a não negatividade das mesmas, pode-se verificar que a função objetivo corresponde a uma reta. Ainda relativamente à função objetivo, poderemos observar que se pretende maximizar F e se o coeficiente de XA é positivo, então interessa-nos incrementar o valor de XA; analogamente, sendo positivo o coeficiente de XB, também nos interessa incrementar o valor de XB. Conclui-se, assim, que para incrementar o valor da função objetivo deve-se aumentar simultaneamente XA e XB.
Na Figura 1 apresentada abaixo podemos ver a representação gráfica das três restrições do problema que apresenta a seguinte formulação matemática.

F.O. (MaxZ): 7 XA + 10 XB;
s.a.:
 1 XA + 2 . XB ≤ 20;
 3 XA + 2 . XB ≤ 30;
 1 XA + 1 . XB ≥ 5;
 XA ≥ 0;  
 XB ≥ 0;

Figura 1- Representação gráfica das três restrições

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Fonte: file:///D:/Users/Administrador/Desktop/9%20per%C3%ADodo/Sintegra/PL_3.pdf

A zona sombreada na figura anterior, corresponde ao conjunto de pontos que respeitam simultaneamente as três restrições, bem como às condições de não negatividade das variáveis, pelo que a designaremos por espaço de soluções admissíveis. A função objetivo, como já tínhamos observado, aumenta de valor quando as variáveis XA e XB crescem simultaneamente. Assim, as retas que representam a função objetivo deverão ser deslocadas, tanto quanto possível, no sentido 5uo1sp.png.

Revisão sobre a construção do espaço de solução

Solução gráfica utilizando-se o software GeoGebra

A proposta de abordagem da Programação Linear pode contar com o auxílio do GeoGebra, facilitando o estudo e a compreensão da parte gráfica, a interpretação dos sistemas de equações e inequações, bem como a visualização das regiões planas.


Segue outro exemplo para fixação o conteudo:

GeoGebra

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O GeoGebra é um aplicativo de matemática dinâmica que combina conceitos de geometria e álgebra. Uma breve descrição assim como videoaulas ensinando a utiliza-lo está disponível na pagina sobre Função, no tópico Softwares. Para acessar cique aqui
O software possui versões para download e uma versão online, ambas podem ser encontradas nos links a baixo:

Versão para Download

Versão Online

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