Análise de sensibilidade
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A análise de sensibilidade nos ajuda a entender como esta solução ótima mudará mediante a entrada dos novos coeficientes. Custo reduzido, preço sombra, limites dos coeficientes da função objetivo e das restrições são termos cujo entendimento é necessário para conduzirmos a análise de sensibilidade.

Análise de Sensibilidade é uma etapa muito importante na metodologia de Análise de Decisão. De modo geral, a análise de sensibilidade é utilizada para:
• Tomar melhores decisões;
• Decidir quais dados estimados devem ser refinados antes de tomar uma decisão;
• Concentrar-se nos elementos críticos durante a implementação.

Contudo, a utilização da análise de sensibilidade justifica-se por:
• Quando há dados controláveis (capital, capacidade de produção) a análise de sensiilidade permite estudar quais alterações nestes dados são convenientes. Exemplo: compensa usar horas-extras na produção de um dado bem?
• Quando há dados obtidos por métodos estatísticos (previsão de vendas) a analise de sensibilidade permite detectar quais dados são mais relevantes e devem ser obtidos com maior acuracidade.

A análise de sensibilidade deseja saber como mudanças nos parâmetros da PL afetam a solução ótima. Consideramos como parâmetros da PL:

* Coeficientes da PO: avaliar em quanto o valor dos coeficientes pode variar (para baixo ou para cima) sem que a solução ótima se altere.

Ainda podemos analisar tais parâmetros através do:

*Custo reduzido (associado aos coeficientes da FO): indica em quanto o coeficiente de uma variável não básica (que não faz parte da solução ótima) deve diminuir para que esta passe a integrar o conjunto de variáveis básicas.

* Preço sombra (associado às restrições): é a quantidade na qual a função objetivo melhora se a restrição for aumentada em uma unidade.

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Fonte:autor

Análise de sensibilidade na prática

A análise de sensibilidade tem sido aplicada principalmente nas seguintes áreas:

  • Física
  • Química
  • Estudos climáticos e ambientais
  • Economia
  • Análise de Risco
  • Processamento
  • Redes neurais
  • Avaliação de desempenho
  • Fabricação de novos produtos
  • Avaliar o emprego de novas tecnologias ou processo de fabricação

A análise de sensibilidade envolve, basicamente, investigar o efeito na solução ótima ao se realizar mudanças nos parâmetros do modelo de programação Linear aij, bi, e cj.

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Para pequenos problemas, seria simples verificar o efeito de uma série de mudanças nos valores de parâmetros, bastando replicar o método simplex a cada vez para ver se a solução ótima muda ou não;

No entanto, para problemas maiores, do tamanho típico encontrado na prática, essa análise exigiria um trabalho braçal bem significativo, ou uma carga de processamento tremendo, caso estivesse utilizando softwares como o solver do Excel, por exemplo.

Fonte: Análise de sensibilidade; Pesquisa Operacional; UNIVASF

Exemplo no LPSolve

Veja a formulação matemática já devidamente digitada no LPSolve:

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Figura. Janela de entrada contendo a formulação matemática do problema. Fonte: autor

O resultado ótimo apresentado pelo LPSolve pode ser visto na aba Result e sub-aba Objective.

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Figura. Resultado da otimização no LPSolve. Fonte: autor

A figura acima mostra que a variável A assumirá na solução ótima o valor de 20 e a variável B assumirá valor de 60, levando à uma função objetivo de 180.

Sensibilidade da função objetivo

A análise de sensibilidade em relação aos coeficientes da FO, pode ser encontrada no LPSolve na aba Result, sub-aba Sensitivity e sub-sub-aba Objective:

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Figura. Análise de sensibilidade da função objetivo no LPSolve.

A figura acima apresenta a tabela com o quanto cada coeficiente da FO poderá variar - valores from (de) e til (até), sem que os valores recomendados para as variáveis de decisão se alterem. No exemplo apresentado, na função objetivo, a variável A possui coeficiente de 3, e segundo a análise de sensibilidade, este coeficiente pode variar entre 2 e 4 que a solução ótima (A = 20 e B = 60) continuará a mesma. O mesmo vale para B, cujo valor na FO é 2, e poderá variar entre 1,5 e 3, sem que a solução ótima se altere.

No problema apresentado, ambas as variáveis de decisão estão sendo utilizadas na solução ótima. Portanto, não há variável de decisão fora do conjunto das variáveis básicas. Assim, não existe custo reduzido para este problema.

Preço sombra e custo reduzido

O preço sombra e o custo reduzido podem ser encontrados no LPSolve na aba Result, sub-aba Sensitivity e sub-sub-aba Dual:

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Figura. Análise de sensibilidade do lado direito das restrições no LPSolve. Fonte: autor

Na coluna value, para as restrições (r1, r2 e r3), o valor indica o preço sombra. Para as variáveis (A e B), o valor indica o custo reduzido.

No exemplo resolvido no LPSolve, as restrições r1 e r2 apresentam preço sombra de 1. Isto significa que caso, a restrição que hoje é de 100 unidades, aumentar em 1 unidades (passar para 101), a função objetivo também aumentará em 1 unidade (passando de 180 para 181). Já a restrição r3 apresentou preço sombra 0. Isto indica que, as 40 unidades da restrição não estão de fato limitando o crescimento da função objetivo.

Ambas as variáveis (A e B) apresentaram valores 0 para custo reduzido. Isto ocorre, por que as duas variáveis já fazem parte da solução ótima. Isto é, A = 20 e B = 60. Assim, não há a necessidade de que os coeficientes destas variáveis se alterem para que ela passe a fazer parte da solução.

A coluna from e til indicam o intervalo de variação, ou da restrição, ou do coeficiente, para o qual o preço sombra ou custo reduzido indica é válido. Desta forma, o preço sombra de r1 = 1, só é válido enquanto a restrição que hoje é 100, permanecer entre 80 e 120.

Exemplo na planilha eletrônica

A figura abaixo apresenta a montagem do mesmo problema resolvido anteriormente no LPSolve, mas agora numa planilha eletrônica.

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Figura. Construção do problema de programação linear para ser resolvido via suplemento Solver. Fonte: autor

A partir da estrutura apresentada, é possível utilizar o suplemento Solver para resolver o problema de programação matemática abaixo. Antes de apresentar o resultado, o suplemento Solver pergunta se o usuário deseja que seja apresentado também a análise de sensibilidade. Quando esta opção é marcada pelo usuário, duas tabelas são apresentadas.

A primeira tabela mostra a análise de sensibilidade para a função objetivo.

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Figura. Análise de sensibilidade da função objetivo e custo reduzido. Fonte: autor

Os valores apresentados são os mesmos do LPSolve, mas as informações são apresentadas de forma ligeiramente diferente. Na tabela acima o custo reduzido de cada variável é apresentada na coluna Reduced Cost. Como já discutido anteriormente, já que ambas as variáveis fazem parte da solução ótima, não há custo reduzido para este problema (valor 0 na coluna Reduced Cost). Quanto à variação dos coeficientes, a tabela apresenta em quanto cada coeficiente pode aumentar ou diminuir. No exemplo acima, o coeficiente associado a X1 é 3, mas pode diminuir em uma unidade, passando para 2, ou aumentar em uma unidade, passando para 4, sem que a solução ótima se altere.

A segunda tabela, apresenta a análise de sensibilidade para as restrições.

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Figura. Análise de sensibilidade do preço sombra. Fonte: autor

O preço sombra de cada restrição é apresentado na coluna Shadow Price e a variação permitida para mais ou para menos de cada restrição é apresentada nas colunas Allowable increase e Allowable decrease respectivamente.

Playlist: Videoaulas Complementares

Exemplo de análise de sensibilidade no Excel

Exemplos de análise de sensibilidade no LP Solve

Pesquisa Operacional - Exercício de Problema Dual e Análise de Sensibilidade

ANALISE DE SENSIBILIDADE DA PROGRAMAÇÃO LINEAR NO SOLVE

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